Transformasi Refleksi

REFLEKSI(pencerminan)

Refleksi adalah suatu transformasi yang memindahkan tiap titik pada bidang dengan menggunakan sifat bayangan cermin dari titik-titik yang akan dipindahkan. Jika sebuah bangun geometri dicerminkan terhadap sebuah garis tertentu, maka bangun bayangan kongruen dengan bangun semula. Pada transformasi refleksi, jarak titik pada bangun bayangan ke sumbu cermin sama dengan jarak titik pada bangun semula ke sumbu cermin.

Cara  melukis bayangan dari bangun geometri adalah seagai berikut :

1.   Tentukan terlebih dahulu sebuah garis yang akan bertindak sebagai sumbu cermin atau sumbu simetri.

2.   Dari tiap titik sudut geometri yang akan dilukis bayangannya, buatlah garis yang tegak lurus terhadap sumbu cermin.

3.   Lukislah titik-titik sudut bangun geometri bayangan dengan cara mengukur jarak antara titik sudut bangun geometri bayangan terhadap sumbu cermin sama dengan jarak titik sudut bangun geometri semula terhadap sumbu cermin.

4.   Hubungkan titik-titik sudut yang berdekatan sehingga diperoleh bangun geometri bayangan.

Matriks yang bersesuaian dengan tranformasi geometri

Refleksi	Rumus	Matriks
Refleksi terhadap sumbu-x
Refleksi terhadap sumbu-y
Refleksi terhadap garis y=x
Refleksi terhadap garis y=-x
Refleksi terhadap garis x=k
Refleksi terhadap garis y=k
Refleksi terhadap titik (p,q)	Sama dengan rotasi pusat (p,q) sejauh 180˚
Refleksi terhadap titik pusat (0,0)
Refleksi terhadap garis y=mx,m=tan α
Refleksi terhadap garis y=x+k
Refleksi terhadap garis y=-x+k

Sifat-sifat

a.    Dua refleksi berturut-turut terhadap sebuah garis merupakan suatu identitas, artinya yang direfleksikan tidak berpindah.

b.   Pengerjaan dua refleksi terhadap dua sumbu yang sejajar, menghasilkan translasi (pergeseran) dengan sifat:

§  Jarak bangun asli dengan bangun hasil sama dengan dua kali jarak kedua sumbu pencerminan.

§  Arah translasi tegak lurus pada kedua sumbu sejajar, dari sumbu pertama ke sumbu kedua. Refleksi terhadap dua sumbu sejajar bersifat tidak komutatip.

c.    Pengerjaaan dua refleksi terhadap dua sumbu yang saling tegak lurus, menghasilkaan rotasi (pemutaran) setengah lingkaran terhadap titik potong dari kedua sumbu pencerminan. Refleksi terhadap dua sumbu yang saling tegak lures bersifat komutatif.

d.   Pengerjaan dua refleksi berurutan terhadap dua sumbu yang berpotongan akan menghasilkan rotasi (perputaran) yang bersifat:

§ Titik potong kedua sumbu pencerminan merupakan pusat perputaran.

§ Besar sudut perputaran sama dengan dua kali sudut antara kedua sumbu pencerminan.

§ Arah perputaran sama dengan arah dari sumbu pertama ke sumbu kedua.

Persamaan transformasi pada bidang, yaitu

·                  1.  Persamaaan transformasi terhadap sumbu X

Misalkan titik P(x,y) dicerminkan terhadap sumbu X sehingga diperoleh bayangan titik  P’(x’,y’). Persamaan transformasi terhadap sumbu X  ditentukan oleh hubungan:

x’ = x

y’ = -y

Ditulis : P(x,y) sumbu X  P’(x,-y)

·                 2. Persamaan transformasi terhadap sumbu Y

Misalkan titik P(x,y) dicerminkan terhadap sumbu Y sehingga diperoleh bayangan titik P’(x’,y’). Persamaan transformasi terhadap sumbu Y  ditentukan oleh hubungan:

x’ = -x

y’ = y

Ditulis : P(x,y) sumbu Y  P’(-x,y)

·                 3. Persamaan transformasi refleksi terhadap garis y = x

Misalkan titik P(x,y) dicerminkan terhadap garis y = x  sehingga diperoleh bayangan titik P’(x’,y’). Persamaan transformasi terhadap garis y = x  ditentukan oleh hubungan:

x’ = y

y’ = x

Ditulis : P(x,y) y = x  P’(y,x)

4.Persamaan transformasi refleksi terhadap garis y = -x

Misalkan titik P(x,y) dicerminkan terhadap garis y = -x  sehingga diperoleh bayangan titik P’(x’,y’). Persamaan transformasi terhadap garis y = - x  ditentukan oleh hubungan:

x’ = -y

y’ = -x

Ditulis : P(x,y) y = -x  P’(-y,-x)

·                 5.  Persamaan transformasi refleksi terhadap titik asal O(0,0)

Misalkan titik P(x,y) dicerminkan terhadap titik asal O(0,0) sehingga diperoleh bayangan titik P’(x’,y’). Persamaan transformasi terhadap titik asal O(0,0)  ditentukan oleh hubungan:

x’ = -x

y’ = -y

Ditulis : P(x,y) titik asal O  P’(-x,-y)

·                 6.  Persamaan transformasi refleksi terhadap garis x = h

Misalkan titik P(x,y) dicerminkan terhadap garis x = h  sehingga diperoleh bayangan titik P’(x’,y’). Persamaan transformasi terhadap garis x = h  ditentukan oleh hubungan:

x’ = 2h -x

y’ = y

Ditulis : P(x,y) x = h  P’(2h-x, y)

·                 7. Persamaan transformasi refleksi terhadap garis y = k

Misalkan titik P(x,y) dicerminkan terhadap garis y = k sehingga diperoleh bayangan titik P’(x’,y’). Persamaan transformasi terhadap garis y = k ditentukan oleh hubungan:

x’ = x

y’ = 2k-y

Ditulis : P(x,y) y = k  P’(x, 2k-y)

Ketika kita sedang bercermin di belakang cermin tampak bayangan kita . bayangan itu sama dengan kita baik bentuk maupun besarnya , perbedaanya terletakbpada arahnya , yaitu arahnya berlawanan , karena kita dan bayangan kita saling berhadapan .

Perhatikan gambar 11.11 , garis M dipandang sebagai cermin .oleh cermin M ini , bayangan dari Δ ABC adalah Δ EFG . dalam matematika , kia boleh pula mengatakan bahwa  oleh cermin M bayangan dIri Δ EFG adalah ABC . Apabila pencerminan (refleksi) diberi symbol M , maka pencerminan oleh garis M ditulis Mm.

Dengan pencerminan oleh garis M , bayangan D ABC adalah EFG , dituliskan dengan notasi Mm : Δ ABC Δ EFG .

Bangun (bentuk) dan besar benda dan bayangannya selalu sama sehingga benda dan bayangannya dikatakan sama dan sebangun 9kongruen) yang diberi notasi.

Pada pencerminan Mm (gambar 11.11), D ABC sama dan sebangun dengan  Δ EFG (ditulis D ABC Δ ≡ FG). Bayangan titik B adalah titik f dan B = F. suatu titik yang bayangannya titik itu sendiri disebut titik tetap (invarian). Jadi titik B tersebut adalah suatu titik invariant sehingga anda akan mengerti bahwa semua titik pada cermin merupakan titik-titik invariant.

Jika titik A dan E dihun=bungkan maka garis AE tegak lurus pada garis m (cermin). Tentukanlah bayangan garis AE terhadap cermin m! bayangan AD adalah ED dan bayangan ED adalah AD, sehingga bayangan garis AE adalah garis EA. Padahal garis Ae sama dengan garis EA, maka bayahngan garis AE adalah garis itu sendiri. Selanjutnya dikatakan bahwa garis AE terhadap pencerminan dengan garis m merupakan garis tetap (garis invariant), tetapi tidak titik pertitik.

Gambar 11.12

Pada gambar 11.12, Δ ABC adalah suatu segitiga sama kaki. Apabila kertas ini yang memuat gambar Δ ABC ini dilipat menurut garis CD, maka Δ ADC akan tepat menutup Δ BDC. Demikian pula, jika garis CD dipandang sebagai cermin, maka bayangan Δ ADC adalah Δ BCD dan sebaliknya bayangan Δ BDC adalah Δ ADC sehingga bayangan Δ ABC adalah Δ BAC sendiri. Demikian pula, jika Δ ABC digunting melalui sisi-sisinya dan selanjutnya potongan segitiga itu dibalik dengan diletakkannya A pada B, B pada A serta C tetap pada C, maka potongan segitiga itu akan tepat menutup segitiga semula. Selanjutnya dikatakan bahwa bangun Δ ABC sama kakib tersebut mempunyai simetri sumbu atau simetri cermin atau simetri balik atau simetri lipat. Sedangkan garis yang dipandang sebagai cermin itu disebut garis simetri atau sumbu simetri.

Gambar 11.13

Pada gambarb 11.13, segiempat abCd adalah suatu belah ketupat. Anda dapat melipat atau membalik bangun tersebut menurut diagonalnya dan menunjukkan bahwa belah ketupat mempunyai simetri cermin. Tepatnya dikatakan bahwa suatu belah ketupat mempunyai simetri cermin. Tepatnya dikatakan bahwa suatu belah ketupat mempunyai 2sumbu simetri.

Gambar 11.14

Perhatikan gambarv 11.14, pada pencerminan terhadap garis m, bayangan A adalah A’ dan bayangan A’ adalah A, atau ditulis Mm : A A’. selanjutnya dapat mengerti bahwa panjang AD = A’D dan garis AA’ tegak lurus pada garis m.

Gambar 11.15

Pada gambar 11.15, bayangan ruas garis AB adalah a’B oleh pencerminan terhadap garis m. sehingga AA’ tegak lurus garis m dan bayangan Δ Abc adalah Δ A’BC. Jadi ˂ABC = < A’BC dan < BAC = < BA’C.

Gambar 11.16

Pada gambar 11.16, bayangan ruas garis PQ oleh pencerminan terhadap garis n adalah P’Q’.

Mn : PQ → P’Q’

Maka setiap titik pada ruas garis PQ , bayangannya merupakan titik pada ruas garis  P’Q’.setiap garis yang menghubungkan suatu titik dengan bayangan selalu tegak lurus pada cermin n , kecuali titik invariannya . jika ruas garis PQ diperpanjang dan bayangannya , yaitu P’Q’ juga diperpnjang , maka akan berpotongan pada suatu titik yang terletak pada cermin n.

Contoh :

Titik – titik A dan B terletak pada pihak yang sama terhadap garis m sedemikian hingga perpanjangan AB memotong garis m  di titik T dan susudt yang dibentuk oleh garis AB dan garis m besarnya 35 derajat .

A’B’ adalah bayangan dari AB oleh pencerminan terhadap garis m .

a)      Jika AB = 7 cm dan BT =3 cm berapakahpanjangA’ T danbesar<ATA’ ?

b)      Jikagaris yang menghubungkan A dan B’ memotonggaris m di titik P, mengapagarishubungtitik-titik A’ dan B memotonggaris m di titik P pula 1

Jelaskan.

Jawab

a)      Mm : AB A’B’, maka A’B’ = AB sehingga A’B’ = 7 cm

Mm ; BT B’t, maka B’T = BT sehingga B’T = 3 cm

Jadi A’T = A’B’ + B’T = 7 cm + 3 cm

A’T = 10 cm

Mm : AT → A’T, maka< ATD = < A’TD = 35°.

Jadi< ATA’ = < ATD + < A’TD = 35° + 35° = 70°

b)      AB’ memotonggaris m di titik P.

Mm :  AP → A’P

          PB → PB

          AB’ → A’B.karena A’B adalahbayangandari AB’, maka A’B dan AB’ berpotonganpadasuatutitik yang terletakpadacermin (garis m), yaitutitik P.

Contoh :

        Diketahui sebuah garis I . Titik – titik P dan Q terletak pada pihak yang sama terhadap garis I . tentukanlah titik R pada garis I sedemikian hingga lintasan dari P ke Q melalui R merupakan lintasan paling pendek .

                 Jawab:

Gambar 11.18

     Garis I dipandang sebagai cermin , dan Q’ adalah bayangan titik Q. Selanjutnya ditarik garis PQ’ yang memotong garis I di titik R . Maka PR + RQ merupakan lintasan terpendek dari P ke Q melalui sebuah titik pada I yaitu R . Untuk membuktikan kebenaranyya ditunjukkan berikut ini . diambil sebarang titik M pada garis I karena Q’ bayangan dari Q dan M  pada cermin I , maka QM = Q’M

Perhatikan ∆ PMQ’ , PQ’ < PM + MQ’ ( panjang sebuah sisi lebih pendek dari jumlah panjang dua sisi lainnya ) . Karena RQ = RQ’ dan PQ’ = PR + RQ’ , maka

PQ’ = PR + RQ

Sehingga PR +RQ < PM + MQ

Jadi PR + RQ terpendek .

                                                      Gambar 11.19

Dalam bidang koordinat cartesius, pencerminan terhadap sumbu x ditulis Mx , pencerminan terhadap sumbu y ditulis : My

Perhatikan Gambar 11.19

Mx : A (-2 , 3) → A’(-2, -3)

        B (4 , 2 ) →B’(4 , -2)           

        C ( 1 , 1 ) → C (1 , 1)

Mx : ∆ ABC →A’B’C’

Dari contoh ini kita dapat menarik kesimpulan bahwa

Mx : P (a , b)  →  P’(a , -b)

Jadi pada pencerminan terhadap sumbu x , bayangan titik P(a , b) adalahP’(a , -b)

                                                      Gambar 11.20

Pada gambar 11.20 bayangan jajaran genjang ABCDoleh pencerminan terhadap sumbu Y adalah jajargenjang A’B’C’D’ atau ditulis

My : □ ABCD → □ A’B’C’D’

Bayangan titik – titik sudutnya adalah sebagai berikut :

My : A ( -4 , -3)                 → A’(4 , -3)

         B (-1 , -2 )                → B’(1 , -2)

         C (-2 , 2)                   → C’ (2 , 2)

         D ( -5 , 1)                 → D’( 5 ,1 )

Memperhatikan koordinat suatu titik dan koordinat bayangannya , kita dapat menarik suatu simpulan bahwa :

My : P(a , b) → P’(-a, b)

Jadi pada pencerminan terhadap sumbu y , bayangan titik P(a,b) adalah ‘(-a , b).

Gambar 11.22

Perhatikan gambar 11.22. gambar lurus x = h sebagai cermin dan bayangan  titik T (a,b) adalah T (p,q). kita akan menentukan hubungan koordinat titik T’ dengan koordinat titik T, yaitu menyatakan p dan q dengan a, b dan h.

P        = a + TT

          = a + 2 TM

          = a + 2(h- a)

          = a + 2h – 2a

P        = 2h – a

Selanjutnya tampak jelas bahwa q = b

Maka bayangan titik T(a, b) pada pencerminan terhadap garis x = h adalah T’(2h – a, b)

M : T(a,b) → T’ (2h – a, b)

Dengan cara yang mirip dengan cara tersebut. Anda dapat menentukan bayangan titik P(a, b) pada pencerminan terhadap garis y = k!

M : P(a,b) → P’(a, 2k – h)

Bayangan titik P(a,b) pada pencerminan terhadap garis y = k adalah P’(a, 2k – b)

Gambar 11.23

Pada gambar 11.23, garis lurus y = x sebagai cermin. Pada pencerminan ini, bayangan (peta) dari ∆ ABC adalah ∆ A’B’C’

M : ∆ ABC → ∆ A’B’C’

Bayangan titik-titik sudutnya yang menyertakan koordinatnya sebagai berikut::

M :     A(2, -3) → A’(-3, 2)

          B(5,-2) → B’(-2,5)

          C(3,1) → C’(1,3)

Memperhatikan koordinat suatu titik dan koordinat titik bayangannya, kita dapat menarik simpulkan sebagai berikut :

M_y=x : P(a,b) → P’(b,a)

Pada pencerminan terhadap garis y=x, bayangan dari titik P(a,b) adalah P’(b,a)

Pada gambar 11.24, garis lurus y = =x sebagai cermin

M_y=-x   ∆ ABC → ∆ A’B’C’

          A(2,1) → A’(-1,-2)

          B(4,3) → B’(-3,-4)

          C(-2,4) → C’(-4, 2)

Gambar 11.24

Dari contoh-contoh ini kita dapat menarik simpulan sebagai berikut:

M_y=-x : P(a,b) → P’(-b,-a)

Pada pencerminan terhadap garis y=-x, bayangan titik P(a,b) adalah titik P’(-b,-a)

Gambar 11.25

          Pada gambar 11.25 terdapat dua cermin, yaitu garis y=2 dan garis y=7 yang sejajar. Pada perncerminan terhadap garis y=2, bayangan (peta) dari ∆ ABC adalah ∆  A’B’C’. selanjutnya pada pencerminan tergadap garis y=7, peta (bayangan) dari ∆ A’B’C’ adalah A’’B’’C’’. dua perncerminan berturutan ini disebut komposisi pencerminan.

          M_y=7 0 M_y=2 dibaca pencerminan terhadap garis y=2 diteruskan dengan pencerminan terhadap garis y=7 (awas! Pembacaannya dibalik).

Komposisi pencerminan pada gambar 11.25  dapat dituliskan

          M_y=7 0 M_y=2 : ∆ ABC → ∆ A’’B’’C’’

Komposisi pencerminan M_y=2 M_y=7  memetakan ∆ ABC ke ∆ A’’B’’C’’

Perhatikan gambar 11.25

M_y=2 : A(-2,3) → A’(6,3)              M_y=7  : A’(6,3) → A’’(8,3)

          B(1,2) → B’(3,1)                            B’(3,1) → B’’(11,1)

          C(0,5) → C’(4,5)                            C’(4,5) → C’’(10,5)

M_y=7 0 M_y=2 :          A(-2,3) → A’’(8,3)

                              B(1,1) → B’’(11,1)

                              C(0,5) → C’’(10,5)

Apabila kita perhatikan lagi gambar 11.25, maka ∆ A’’B’’C’’ diperoleh dari ∆ ABC dengan cara melakukan translasi (pergeseran) dengan

Vector u = (  ) yaitu Tu

Tu :    A(-2,3) → A’’(-2 + 10,3 + 0) = A’’(8,3)

          B(1,1) → B’’(1 + 10,1 + 0) = B’(11,1)

          C(0,5) → C’’(0 + 10,5 + 0) = C’’(10,5)

Gambar 11.26

Selanjutnya kita akan mencari vector translasi pada pencerminan dengan dua cermin yang sejajar. Pada gambar 11.26, garis-garis m dan n sebagai cermin.

M_m : P → P’ dan

M_n : P’ → P’’

M_o : P → P’’

Misalkan jarak cermin m dan n adalah h. telah kita ketahui bahwa M_n 0 M_m sama dengan suatu translasi u yang arahnya tegak lurus pada cermin.

Translasi u = PP’’ (lihat gambar 11.26)

PP’’ = PP’ + P’P’’

          = 2 TP’ + 2 P’k

          = 2 (TP’ + P’K)

PP’’ = 2h

Jadi panjang vector translasi u sama dengan dua kaki jarak kedua kaki jarak kedua cermin.

Dari uraian di atas dapat disimpulkan sebagai berikut

          Jika uraian cermin sejajar m dan n yang jaraknya h, maka pencerminan terhadap garis m dilanjutkan dengan pencerminan terhadap garis m dilanjutkan dengan pencerminan terhadap garis n sama dengan melakukan pergeseran (translasi) dengan vector u yang panjangnya 2 h da arahnya tegak lururs pada cermin.

Soal – soal !

1.      Titik A memiliki koordinat (3, 5). Tentukan koordinat hasil pencerminan titik A:

a) Terhadap garis x = 10

b) Terhadap garis y = 8

2.      Titik A memiliki koordinat (3, 5). Tentukan koordinat hasil pencerminan titik A:

a) Terhadap garis y = x

b) Terhadap garis y = − x

3.      Segitiga ABC , A(2,-3), B(-5, 2), dan C(5 , 7) dicerminkan ke sumbu Y, tentukan bayangannya !

4.      Tentukan bayangan aris 5X + 4Y = 7 jika direfleksikan terhadap garis y = -x !

5.      Titik P(-5 , 7) dicerminkan ke sumbu X . tentukan bayangannya !